Giải Toán 12 Bài 1

Hướng dẫn giải và đáp án bài 1 trang 9; bài 2,3,4 trang 10 SGK giải tích lớp 12. Bài: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – Chương 1.

Bạn đang xem: Giải toán 12 bài 1

Giải bài tập trong Sách giáo khoa:

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2 ; b) y = 1/3x3 + 3x2 – 7x – 2 ;

c) y = x4 – 2x2 + 3 ; d) y = -x3 + x2 – 5.

Đáp án bài 1: a) Tập xác định : D = R;

y’ = 3 – 2x => y’ = 0 ⇔ x = 3/2Ta có Bảng biến thiên :

Hàmsố đồng biến trên khoảng (-∞; 3/2); nghịch biến trên khoảng ( 3/2; +∞ ).

b) Tập xác định D = R;y’= x2 + 6x – 7 => y’ = 0 ⇔ x = 1, x = -7.

Bảng biến thiên :

Hàmsố đồng biến trên các khoảng (-∞ ; -7), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-7 ; 1).

c) Tập xác định : D = R.

y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) => y’ = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1.

Bảng biến thiên : (Học sinh tự vẽ)

Hàm số đồngbiến trên các khoảng (-1 ; 0), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (0 ; 1).

d) Tập xác định : D = R. y’ = -3x2 + 2x => y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 2/3.

Bảng biến thiên :

Hàmsố đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2/3) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; 0), ( 2/3; +∞).

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàmsố:

Đáp án bài 2: a) Tập xác định : D = R{ 1 }

Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

b) Tập xác định : D = R{ 1 }.

Hàmsố nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

c) Tập xác định : D = (-∞ ; -4> ∪ <5 ; +∞).

Xem thêm: Top 10+ Địa Chỉ Đổi Ngoại Tệ Ở Tphcm, Đổi Ngoại Tệ Ở Đâu Tphcm

Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +∞).

d) Tập xác định : D = R{ -3 ; 3 }.

Hàmsố nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞).

Bài 3. Chứng minh rằng hàmsố

đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1 ; +∞).

Giải: Tập xác định : D = R.

⇒ y’ = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (1 ; +∞).

Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích 12). Chứng minh rằng hàm số

đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1 ; 2).

Giải: Tập xác định : D = <0 ; 2>;

, ∀x ∈ (0 ; 2); y’ = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2).

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 x +x3/3 (0 2x – 1 ≥ 0, x ∈ <0 ;π/2); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên <0 ; π/2).

Từ đó ∀x ∈ (0 ; π/2) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x – x3/3. với x ∈ <0 ; π/2).

Ta có : y’ = 1/cos2x – 1 – x2 = 1 + tan2x – 1 – x2 = tan2x – x2

= (tanx – x)(tanx + x), ∀x ∈ <0 ;π/2 ).

Vì ∀x ∈ <0 ; π/2) nên tanx + x ≥ 0 và tanx – x >0 (theo câu a). Do đó y’ ≥ 0, ∀x ∈ <0 ; π/2). Dễ thấy y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên <0 ; π/2). Từ đó : ∀x ∈ <0 ; π/2) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x – x3/3 > tan0 – 0 – 0 = 0 hay tanx > x + x3/3.